Etablissements

Lycée Jean Jaurès
93100 MONTREUIL

Lycée Louise Michel
93000 BOBIGNY

Professeurs

Mme Marie-Françoise Blanc-Mathieu
M. Philippe Paul

Jean Denis Brulois

Chercheur

M. Stéphane Fischler (ENS, Paris)

Sujet 1 : Des nombres magiques. (photos)

Considérons le nombre 703. Élevons-le au carré : on obtient 494209.

On "coupe" ce nombre en deux, et on additionne les morceaux :
cela donne 494 + 209 = 703. On est revenu au nombre initial : 703 est un nombre magique !

Existe-t-il d'autres nombres magiques à trois chiffres ? Comment peut-on les trouver tous? Qu'est-ce que ces nombres ont de particulier ? (par exemple, comment peut-on démontrer que 703 est magique sans calculer son carré ?) Peut-on considérer des nombres magiques à deux, quatre, cinq chiffres (voire plus) ?

 

Sujet 2 : Les noms de famille. (photos)

Considérons un pays où vivent N couples, qui portent des noms de famille tous différents. On s'intéresse à la transmission de ces noms de famille au cours des générations. On suppose que les enfants héritent du nom de leur pére. En outre, on suppose qu'à une génération donnée :

Un quart des couples n'ont aucun fils.
La moitié des couples ont un fils.
Un quart des couples ont deux fils.

Comment va évoluer, au fil du temps, la répartition des patronymes dans la population? Est-ce que certains noms de famille vont disparaître ? Est-ce qu'au bout d'un certain temps, tout le monde s'appellera pareil ? Que se passe-t-il si on change certaines hypothèses (explicites ou implicites) données ici ?

Sujet 3  : Un jeu original. (photos)

Considérons le jeu suivant, qui se joue à deux.

On dessine n points sur une feuille de papier. Chacun à leur tour, les joueurs relient deux points, puis dessinent un nouveau point quelque part sur la courbe qu'ils viennent de tracer. Ils doivent respecter les règles suivantes :

La courbe qu'ils tracent peut relier un point à lui-mmême, mais elle ne doit ni couper une courbe déjà tracée, ni se couper elle-même ni traverser un point déjà existant.

De chaque point ne peuvent partir que trois courbes au maximum.

Les joueurs jouent chacun leur tour, tant qu'ils le peuvent. Le premier qui ne peut plus jouer a perdu.

Ce jeu est intéressant même pour de petites valeurs de n, par exemple 2 ou 3. Est-ce que ce jeu se termine toujours ou pas ? Si oui, au bout de combien de coups ? Y a-t-il une façon de gagner à coup sur, pour l'un des deux joueurs ?