Etablissement	Lycée Romain Rolland - 95 ARGENTEUIL
Professeur	Mme Dominique Guy M. Fabrice Loarer
Chercheur	M. Loïc Allys

Sujet 1 : Cubes d'un chiffre ou chiffres d'un cube ?(Photos)

En partant d'un nombre entier positif a, on va construire une suite d'entiers comme suit :

• Le premier nombre u 1 de la suite est a;
• Pout trouver u 2, on calcule la somme des cubes des chiffres de u 1 ;
  exemple :

Pour trouver u 3 , on recommence la même opération en partant de u 2, et ainsi de suite.
En partant de 145, on trouve 190, 730, 370, 370, 370, ... Que se passe-t-il en partant d'autres valeurs ?

[Commentaire des éditeurs] Signalons à ce propos deux articles MATh.en.JEANS :

• Somme des cubes de chiffres, par Eric Mirand et Guillaume Smagghe du Lycée George Sand (77- Le Mée sur Seine), Actes MATh.enJEANS, 1997, pp. 41 à 46.
  Une étude des nombres à 2, 3 et 4 chiffres. [ niveau lycée]
• Les cycles, par Cheyrel Maboundou du lycée Romain Rolland (93-Argenteuil), Actes MATh.enJEANS, 1997 pp. 147 à148.
  Une étude du problème similaire où, au lieu de cubes, on considère des élévations au carré. [ niveau Terminale]
  

Sujet2 :  L'énigme µ.( Photos)

Dans l'ile Mu, les initiés utilisent le langage mu pour écrire les formules magiques. Les règles du langage mu sont les suivantes :

• Les seules lettres sont M, I, U;
• MI est une formule magique;
• Si une formule magique se termine par I, on peut rajouter U à la fin. Exemple : MIU est une formule magique (MI plus U);
• Si Mxyz est une formule magique, alors Mxyzxyz aussi. Exemple MII, MIIII, MIIIIIIII sont des formules magiques;
• Dans toute formule magique, on peut remplacer trois I consécutifs par un U unique. Exemple : MUI, MIU et MIUUI sont des formules magiques;
• Dans toute formule magique on peut supprimer deux U consécutifs.

D'après des textes très anciens, il semblerait que la formule MU aurait des pouvoirs extraordinaires. Mais pour pouvoir employer cette formule, il faut savoir comment l'obtenir avec les règles précédentes. La formule MU est-elle réellement magique ?

[Commentaire des éditeurs] L'article suivant montre tout l'intérêt de ce type de problème.

Les automates finis en mathématiques, conférence de M. Jean-Paul Allouche, suivie d'une présentation par M. Jean-Pierre Ressayre d'un sujet de recherche sur les automates, Actes MATh.enJEANS, 1995 p. 159 à 168

Des mots qui sont formés à l'aide de règles simples (commme dans l'île Mu) peuvent parfois être reconnus par des "automates". En fait, des tours de Hanoï à la courbe du dragon, en passant par l'étude des décimales des nombres. ces "automates" sont partout ! [niveau lycée et Terminale]

Sujet 3 : Jeu d'Elta.(Photos)

Sur la petite île grecque d'Elta, les habitants jouent au jeu suivant :

Au début, les deux joueurs disposent (d'un commun accord ou selon la décision d'arbitre, peu importe) des petits tas de cailloux sur le sol; chacun des deux joueurs, à son tour, choisit un des tas et enlève autant de caillous qu'il le désire dans ce tas; Celui qui enlève le dernier caillou a gagné.

1. Comment jouer à ce jeu ?
2. On modifie la règle pour que celui qui enlève le dernier caillou soit perdant. Comment jouer au jeu modifié ?

   [Commentaire des éditeurs]. Le jeu de base, où celui qui ne peut plus jouer perd, est aussi connu sous le nom de "jeu de NIM" ou "jeu de Marienbad". Outre Alain Resnais dans son film "l'année dernière à Marienbad", il a inspiré quelques auteurs de MATh.en.JEANS :

   Le jeu de Nim, par Jean -Noël Clémnet, et Bruno Racon du Lycée Valde Seine (Grand Quevilly), Actes MATh.enJEANS, 1992, pp. 131 à 132.
   Un piste de réflexion pour l'étude du jeu : les position "fortes" auraient en commun une certaine propriété de "symétrie", observable à l'aide des nombres 1, 2, 4, 8,16, 32, ...

   Jeu de Nim, par Anne Jamet, Sonia Morin et Trang Pham du lycée Romain Rolland d'Argenteuil, Actes MATh.enJEANS, 1997, pp. 143 à 146.
   Il s'agit ici d'une variante du jeu précédent avec deux tas seulement : à chaque coup, on peut enlever ce qu'on veut dans un seul tas, mais on peut aussi choisir d'en enlever "à peu près autant" dans chaque tas.. [ tout public]

   Gagner au Jeu de Nim, par Daniel E. Loeb (LABRI, Bordeaux), Actes MATh.enJEANS, 1993, pp. 105 à108.
   Texte de professionnel : un cochon jaune et une addition inhabituelle pour venir à bout de piles d'allumettes... et d'autres terrains de recherche à explorer... [ niveau lycée]