Sujet 1 : Droites d'équilibre (photos)

En déplaçant une plaque sur un fil horizontal tendu, on trouve des positions d'équilibre. Ce sont des équilibres instables mais la plaque ne tombe pas tout de suite d'un certain côté. Vous pouvez ainsi trouver expérimentalement des "droites d'équilibre" de la plaque, une dans chaque direction ; vous pouvez les tracer et observer leurs propriétés.

Pouvez-vous aussi étudier mathématiquement ces droites pour des figures simples triangles, quadrilatères ?

Pour cela, il vous faudra d'abord savoir déterminer le point d'équilibre d'une tige sur laquelle on a placé deux, trois ou plusieurs masses.

Sujet 2 : Pavages de rectangles. (photos)

Quand peut-on paver un rectangle avec des pavés carrés tous égaux ? Lorsqu'on peut le faire quel est le plus grand carré possible qui pave le rectangle, et comment le construire géométriquement ? Que trouve-t-on avec cette construction si on part d'un rectangle qui ne peut pas être pavé par des carrés égaux ?

Vous devriez trouver une méthode simple. A partir de là, il y aura d'autres questions, le but étant d'utiliser la géométrie pour faire apparaître les propriétés des nombres (la longueur et la largeur du rectangle).

Sujet 3 : Comment trier rapidement ? (photos)

Comment être le premier à avoir rangé son jeu après qu'on ait distribué les cartes ? Certaines méthodes de tri sont efficaces, d'autres non et peut-être vous n'avez pas de méthode du tout. En pratique les ordinateurs passent beaucoup de temps à trier des données et on a réellement besoin de méthodes rapides.

Pouvez-vous réfléchir à quelques méthodes possibles en commençant avec un jeu de cartes, décrire précisément les opérations successives que vous faites (autrement dit écrire un "algorithme"), évaluer le nombre d'opérations nécessaires (comparaisons, déplacements de cartes) et comparer les résultats ?

Sujet 4 : Brouillages d'images. (photos)
(Sujet tiré du livre de J.-P. Delahaye "Jeux mathématiques et mathématique des jeux".)

Dans la branche des mathématiques appelée "Dynamique" on étudie les effets de désordre ou "chaos" obtenus en appliquant de façon répétée certaines transformations. Un exemple typique est la "transformation du boulanger" qui étire la pâte, la replie sur elle-même et recommence ainsi plusieurs fois.

J.-P. Delahaye et P. Mathieu ont eu l'idée d'expérimenter des transformations sur des images d'ordinateurs, où il y a en fait un nombre fini de points (les "pixels") et ils obtiennent des phénomènes curieux de brouillage puis de retour à l'image initiale. Ils proposent plusieurs transformations, par exemple une "transformation du boulanger" et une "transformation du photomaton".Vous trouverez les détails dans le livre ou sur le site internet http://www.lifl.fr/~mathieu/transform/

Vous pouvez aussi étudier ces transformations et d'autres que vous inventerez.

Revient-on toujours à l'image initiale ? Au bout de combien de temps ?

Pourquoi voit-on de temps en temps des images moins brouillées ?