1. Définition de Stella :
Stella est le nom donné à l’opération, notée « * », où l’on voit les solutions perdantes.
Par exemple, jouer avec un tas de 1 allumette, un tas de 2 et un tas de 3 est une solution perdante, on écrit 1 * 2 = 3.
2. La table de Stella :
a. Définition :
On range tous les résultats dans un tableau appelé table de Stella. Elle se lit de la ligne horizontale qui a le nombre d’allumettes du premier tas, vers la ligne horizontale qui a celui du deuxième tas. A l’intersection de ces lignes, on voit le nombre d’allumettes qu’il doit y avoir dans le troisième tas pour avoir une solution perdante (voir en bas de page).
b. Premières propriétés :
Il existe une diagonale de zéros qui forme un axe de symétrie de la table car les positions 1 * 1 ; 2 * 2 ; 3 * 3 ; … donnent la diagonale et pour chacune d’elles on revient à un jeu à deux tas identiques (solution perdante) entraînant donc 1 * 1 = 0 ; 2 * 2 = 0 ; 3 * 3 = 0 ;… formant ainsi la diagonale de zéros.
Pour vérifier que cet un axe de symétrie prenons une position perdante, par exemple la position 1 * 2 = 3. La position 2 * 1 = 3 est aussi une position perdante car lorsqu’on joue l’ordre des tas n’est pas important, en effet le fait d’avoir le tas d’allumettes à droite, au milieu ou à gauche ne change pas le jeu.
De plus on peut déduire de ce qui précède qu’il y a plusieurs façons d'écrire la position 1 * 2 = 3 qui restera toujours perdante : 2 * 1 = 3 (pour l’axe de symétrie), mais aussi 1 * 3 = 2 ; 2 * 3 = 1 ; 3 * 1 = 2 ou 3 * 2 = 1.
c. La table de Stella :
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Voici le début de la table de Stella où sont notées : Ø la diagonale de zéros (en rouge) ; Ø les positions qui s’en déduisent (en vert) ; Ø la position perdante 1 * 2 = 3 avec toutes celles qui s’en déduisent (en bleu).
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La même chose vue par le professeur :
si on a trois tas d'allumettes, avec :
1 allumette dans le premier tas,
2 allumettes dans le deuxième tas,
3 allumettes dans le troisiéme tas,
le premier joueur perd toujours car il ne peut pas ramasser la dernière allumette (à condition que le deuxième joueur joue bien).
On dira donc que la position (1 ; 2 ; 3) est une position perdante.
On a décidé de faire comme si c'était une opération et d'appeler cette opération « stella ». On la note *.
On a commencé par dire que, comme la position (1 ; 2 ; 3) est une position perdante, on dira que 1 * 2 = 3 (ou 1 « stella » 2 = 3).
Evidemment, pour pouvoir parler d'opération, il faudrait vérifier qu'il n'y a pas d'autre position perdante à trois tas avec 1 allumette dans le premier tas et 2 allumettes dans le deuxième. C'est ce qu'on a essayé de faire à la page 4.
D'autre part, l'ordre des tas dans le jeu de Nim n'a aucune importance.
Donc, si la position (1 ; 2 ; 3) est perdante, les positions suivantes seront aussi perdantes :
( 1 ; 3 ; 2) est perdante donc 1 * 3 = 2
( 2 ; 1 ; 3) est perdante donc 2 * 1 = 3
( 2 ; 3 ; 1) est perdante donc 2 * 3 = 1
( 3 ; 1 ; 2) est perdante donc 3 * 1 = 2
( 3 ; 2 ; 1) est perdante donc 3 * 2 = 1
Puis nous avons décidé de mettre tous ces résultats dans une table, comme la table de Pythagore pour les multiplications.
* (stella)
0
1
2
3
0
1
3 2 2
3
1 3
2 1
Définition
D'une façon plus générale, on dira que n * p = q (ou n stella p = q) si la position ( n ; p ; q ) est perdante.
C'est à dire que si on a n allumettes dans le premier tas, p allumettes dans le deuxiéme tas et q allumettes dans le troisiéme tas alors le premier qui joue ne peut pas prendre la derniére allumette (à condition que le deuxiéme joueur joue comme il faut).
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