le noeud de huit n'est pas tricolorable

Eva Bayer-Fluckiger, Le noeud de trèfle ne se dénoue pas. Comptes Rendus MATh.en.JEANS 00-13

[Annexe 2] Une preuve du fait que le noeud de huit n'est pas tricolorable

Une tricoloration, si elle existait, devrait respecter les 4 règles suivantes

(1) Chaque brin [portion de ficelle comprise entre deux croisements] est coloré avec une seule couleur.
(2) Lorsqu'un brin passe au dessus d'un croisement, le brin qui le suit est de même couleur.
(3) A chaque croisement, soit une seule couleur est présente, soit les trois couleurs sont présentes.
(4) On utilise au moins deux couleurs sur les trois pour colorier le diagramme [autrement dit, tout les brins du diagramme ne sont pas de la même couleur].

L'application des règles (1) et (2) montre que les 3 couleurs sont à choisir parmi 4 possibles.

Puisque 3 couleurs seulement sont permises, au moins deux couleurs des 4 couleurs possibles sont égales.

Traitons, pour commencer, le cas où bleu = rouge.

L'un des croisements ne respecte alors pas la règle (3)

Le rouge, présent en ce croisement, est donc la seule couleur qui y apparaît.
Ainsi : jaune = rouge

La règle (3) se trouve alors contredite par un nouveau croisement

la couleur rouge y apparaît donc seule.
Ainsi : vert = rouge

En définitive, la coloration n'utilise qu'une couleur, le rouge. Mais cela contredit la règle (4) : le cas (bleu=rouge) est donc impossible.

Les autres cas se traitent de façon analogue, et se révèlent également impossibles.

Conclusion : le noeud de huit n'est pas tricolorable.

Comptes Rendus MATh.en.JEANS 00-13