Articles
MATh.en.JEANS
classés par année et par établissement ou jumelage
mise à jour le 22 février 2012
Les articles sont en format pdf, sauf indication contraire
Voir aussi les articles publiés sur le site principal
Nous avons essayé de comprendre, au billard français, quel angle il faut donner à la trajectoire de la boule frappée pour qu'en un seul rebond elle percute la boule visée.
Trouver des méthodes pour gagner au jeu de Dames
Déterminer les paramètres dont dépendent les illusions d’optique afin de les comprendre, voire de les créer.
Trouver une méthode pour mettre échec et mat le roi adverse en un minimum de coups possibles.
Vous avez 21 allumettes en face de vous et vous pouvez en prendre 1, 2 ou 3… Le gagnant est celui des deux joueurs qui prend les dernières allumettes. Existe-t-il une stratégie qui vous permet de gagner à tous les coups ?
Les ombres formées par un objet suivant trois directions orthogonales sont des disques. Quelle peut être la forme de cet objet ? Quel objet utilise le moins de matière ?
Stratégie gagnante dans un jeu de partage
Le jeu : on a une tablette de chocolat avec deux joueurs. Le joueur qui commence coupe cette tablette en deux rectangles et donne un rectangle à l’autre celui-ci fait de même avec le morceau qui lui a été donné. Le jeu se termine Lorsqu’un joueur donne un seul et unique carré. à son adversaire pour gagner
Comment paver le plan avec un motif géométrique unique, ou avec deux motifs différents? A vous de laisser aller votre imagination. Et si vous paviez le plan avec un logo pour Math en jeans de votre invention?
On se promène au hasard sur un graphe. Lorsqu’on est sur un sommet avec d’arêtes, on choisit avec équiprobabilité d’aller sur un des sommets voisins. Que va t-il se passer ? On peut choisir comme graphe un polyèdre régulier, un quadrillage du plan, des points alignés.
Les élèves ont fait une tarte rectangulaire pour leur professeur, mais se rendent compte qu'elle préférerait une autre forme, un triangle équilatéral par exemple. Comment découper le rectangle pour reconstituer un polygone de même aire, et est-ce toujours possible d'ailleurs ? Peut-on découper un polygone quelconque, et comment le découper, pour former un autre polygone de même aire ?
Premier ou non premier, telle est la fonction
Nous savons que le polynôme P(n) = n² + n + 41 donne des images qui sont des nombres premiers pour les entiers n allant de 0 à 40. Peut-on trouver d'autres fonctions (polynomiales ou non) qui permettent d'obtenir des images d'entiers consécutifs qui soient des nombres premiers ?
On s'intéresse à un échafaudage (ou un grillage) de taille m x n dans le plan. Il est constitué de losanges de barres articulées pouvant se déformer .On peut rigidifier un carré en lui ajoutant une barre diagonale .On se pose deux questions : 1) combien de barres diagonales faut-il au minimum pour rigidifier l'échafaudage ? 2) un échafaudage donné est-il rigide ?
On s'intéresse à une population de N individus où N est inconnu. On souhaite connaître N mais il est impossible de compter les individus dans leur ensemble, et donc d'avoir une réponse exacte. En revanche, on est capable de capturer un individu au hasard dans la population. On peut alors décider de marquer ou ne pas marquer cet individu, et de le relâcher ou non. On peut le faire autant de fois que l'on veut Comment peut-on estimer le nombre d'individus dans la population ?
Modéliser et déterminer le temps moyen d'évacuation de 35 personnes d’une salle de cours
Un solide, constitué de plusieurs cubes, est placé dans une boîte de taille 3×3×3. On réalise une ou plusieurs photos de différents côtés. Une photo est constituée d'une grille de 3×3 où chaque valeur de la grille détermine la distance à l'objet. Problème : est-il possible de reconstituer un solide à partir d'une ou plusieurs photos ?
Comment prévoir la trajectoire de la balle suivant l’angle de départ
Quel est le nombre de permutations possibles dans le jeu du taquin ?
Pourquoi les alvéoles des abeilles sont-elles hexagonales ?
Problème de pavage
Le nombre 142857, quand on forme ses six permutations circulaires, ces six nombres sont multiples de 142857 On appellera "six-permutable" ou "permutable à 6 chiffres" un tel nombre... Y en a t'il d'autres ? On peut étudier des "5 permutables"... ou autres.
Le jeu contient 6 trous pour chacun des 2 joueurs. Quand on joue, il faut transférer les billes en plusieurs coups dans le grenier. On distribue une à une toutes les billes de la case choisie, si la dernière va dans le grenier c'est OK. Etudier des situations simples de réussite ? Les positions gagnantes et les plus rapides, la plus rapide ?
Comment comparer les aires de vergers polygonaux dont les arbres sont situés sur un réseau carré ?
Comprendre le phénomène du temps d’attente pour accéder à la cantine qui accueille 1200 élèves. Eventuellement proposer des améliorations
Un bûcheron veut acheter un terrain boisé pour en exploiter les arbres. Les arbres sont régulièrement espacés sur une grille. La législation, pour des raisons de sécurité, lui impose de clôturer son terrain. Pour limiter les frais, il décide de se servir des arbres comme poteaux de clôture. Ceci lui réduit donc d'autant le nombre d'arbres à exploiter. Nous cherchons le terrain le plus rentable pour lui, c'est à dire, l'exploitation avec la plus petite aire et le plus grand nombre d'arbres intérieurs.
Nous voulons construire un mur, avec des briques dont au moins un côté est rationnel. Le mur final a-t-il lui aussi au moins un côté rationnel ?
Rangement de tous les rationnels positifs à l’aide de l’arbre de Stern-Brocot
Un canard se trouve au centre d’une mare circulaire et un loup au bord. Le canard ne peut s’envoler que du bord de la mare et le loup ne sait pas nager. Les deux animaux se déplacent toujours à vitesse constante car ils ne se fatiguent jamais Quel est le plus grand rapport (vitesse loup/vitesse canard) pour lequel le canard atteint le bord de la mare avant le loup ?
On dispose d’un grand triangle, dont les trois sommets sont de couleurs différentes : blanc, noir et gris. On découpe ensuite ce triangle en autant de petits triangles que l’on veut, en respectant la règle suivante : un sommet situé à l’intérieur du grand triangle ne doit jamais se trouver sur une arête.
On dispose d’une grille 3×3, dans laquelle on choisit de griser une case. On doit ensuite écrire les lettres du mot TURLUPIN dans les huit cases restantes, de façon à pouvoir lire ce mot en passant d’une case à une case voisine (verticalement ou horizontalement, pas en diagonale)
On cherche à paver une terrasse rectangulaire avec des pavés de 2x1 cases et des arbres de 1x1 case. La position des arbres est fixée au départ et on cherche à compléter par des pavés de 2x1 cases. Quelles sont les configurations pour lesquelles le pavage et possible ? Celles pour lesquelles il est impossible ?
On part d'une grille de 9 zones appelées régions, divisées en 9 cases. Le principe de ce jeu est de remplir la grille avec les chiffres de 1 à 9, chaque région, colonne et ligne contenant une seule fois chaque chiffre. Trouver le nombre exact ou approximatif de grilles de sudokus déjà remplies.
Est-il possible de découper un carré en un nombre fini de carrés tous différents ? Si oui de quelle façon et cela est-il possible pour un cube ?
Comment optimiser un réseau de radars afin d'obtenir une rentabilité maximale.
Le sujet porte sur les avalanches et plus précisément sur les différents points de chute des cailloux.
Comment optimiser la trajectoire d'un avion d'un point à un autre avec un certain vecteur vitesse initial et final ? Cas de la trajectoire hélicoïdale
Pour rechercher des morceaux de soucoupes volantes cachés dans une base secrète, la zone 51, on embauche des explorateurs On paye les chercheurs à l’embauche puis pour chaque case parcourue. Peut-on trouver le nombre optimal d’explorateurs pour avoir le meilleur rapport entre le coût et le temps total passé à chercher.
Etude du phénomène de vibration des ondes dû à la force appliquée sur une corde d'instrument suivant que la corde est pincée ou frappée
Construire un pavé de dimensions des nombres entiers et tel que la diagonale de sa base soit égale à la hauteur.
Nous disposons d’un plateau de 3 piliers. Nous les nommons 1, 2, 3 (en partant de la gauche). Nous devons déplacer une tour de plusieurs anneaux du pilier 1 au pilier 3.On ne peut déplacer qu’un anneau à la fois à condition que son diamètre soit inférieur à celui de l’anneau sur lequel on veut le poser. Le but est de trouver le nombre de déplacements pour un certain nombre d’anneaux donné (ainsi que les déplacements d’anneaux à effectuer) Peut-on répondre à la question : Combien de temps la déesse Shiva mettra pour déplacer 50 anneaux de la tour 1 à la tour 3 en sachant qu’on ne peut effectuer qu’un déplacement par seconde ? Une fois la tour déplacée, ce sera la fin du monde.
Prenez un paquet de 21 cartes, et faites choisir une carte à quelqu’un. Disposez le paquet en trois paquets de sept cartes, et demandez-lui dans quel paquet se trouve sa carte. Ramassez en mettant ce paquet au milieu, et recommencez l’opération encore deux fois. Vous pouvez ensuite retrouver sa carte, c’est la 11e du paquet. Est-ce qu’on peut établir une stratégie similaire avec 32 cartes ? 52 cartes ? Est-ce qu’on peut imposer aussi la position à la fin ?
Placement optimal d’antennes de téléphone mobile
Une compagnie de téléphonie mobile veut positionner ses antennes dans une ville.. On sait que chaque antenne a un rayon d’action (ou couverture) donné R. La compagnie souhaite qu'il n'y ait aucune zone non couverte. Comme chaque antenne coûte cher, le problème est de recouvrir tout le territoire de la ville avec le minimum d’antennes.
Divisons 1 par un entier naturel:après la virgule que se passe-t-il ?
Dans la division de 1 par un entier naturel, quels phénomènes observe-t-on concernant les chiffres "après la virgule" ? Peut-on comprendre et prévoir les phénomènes observés ?
Le palais de l’Alhambra, vieux de plus de 1000 ans, possède des mosaïques où l’on peut voir, paraît-il, les 17 types possibles de pavages du plan. Notre projet a pour but de déterminer le nombre de pavages possibles et de vérifier s’ils sont tous présents à l’Alhambra.
Certaines civilisations n’ont pas utilisé la roue pour des raisons religieuses. Comment ces peuples auraient-ils dû construire leur route pour que leurs roues soient carrées
Gaspard souhaite faire passer un message à Balthazar, mais si leur professeur Melchior l’intercepte, il ne faut pas qu’il puisse le lire…C’est pourquoi ils décident d’utiliser un code secret. Le code secret qu’ils utilisent est le suivant :
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
P |
Q |
R |
S |
T |
U |
V |
W |
X |
Y |
Z |
B |
A |
F |
C |
D |
E |
J |
M |
S |
G |
P |
O |
I |
Q |
L |
K |
T |
W |
H |
U |
N |
Z |
R |
Y |
V |
X |
Quatre joueurs autour d’une table. Chaque joueur dispose d’un nombre pair de jetons. Chaque joueur fait passer à son voisin de gauche la moitié de ses jetons. Chaque joueur compte ses jetons. Si un joueur possède un nombre impair de jetons, le meneur de jeu lui en donne un de plus
La partie continue…
Que se passe-t-il au 2011ème tour ?? Et si on change le nombre de jetons au départ de la partie ?
Si je prends un nombre à quatre chiffres et que j’écris les uns en dessous des autres ses produits par 1 ;2 ; 3 .. jusqu’à 9, j’affirme que chaque colonne contient au moins le chiffe 0 ou le 9. Est-ce vrai ?
Peut-on parcourir toutes les cases d'un échiquier 8x8 en utilisant la marche classique du cavalier du jeu d'échec sans passer plusieurs fois par la même case ?
Soit N un entier strictement positif ; peut-on déterminer par combien de 0 se termine N! ?
On considère un billard rectangulaire et une boule lancée à une certaine vitesse selon un angle donné. On néglige les frottements. Que peut-on dire de la trajectoire de la boule ? Que se passe-t-il si le billard est triangulaire ?
Un marchand dispose du jeu suivant auquel tout individu peut jouer pour la somme de 10€. On dispose d'un sac rempli de 50 pièces jaunes et d'une pièce rouge indiscernables au toucher, seule la couleur diffère. Le joueur suit le principe suivant :a)il tire une pièce, note sa couleur et la met de côté.b) il tire une pièce, si elle est de la même couleur que la précédente, il la met de côté et recommence en b), si elle est de couleur différente, il la remet dans le sac et recommence en a). Le joueur est considéré gagnant si la dernière pièce tirée est jaune, il repart dans ce cas avec la somme de 15€ (il gagne donc 5€).Que dire de la stratégie du marchand ? Que se passe-t-il si on change le nombre de pièces jaunes et rouges ?
Il s'agit de trouver une méthode pour remplir des carrés magiques.
Construction de nombres par décalage
On dispose de grilles rectangles de taille k x n. A certaines intersections sont placés des points numérotés. On doit élaborer un circuit partant du point 1, passant par tous les autres points dans l'ordre du numéro qui leur est attribué puis revenant à l'origine : le point 1. On s'intéresse à la question suivante : quel est, pour une grille de taille donnée, le nombre maximal de points (noté max) pour lequel il y a toujours un circuit solution, quelle que soit la position des points?
On considère une rangée de k pièces, qui peuvent être côté pile ou côté face. Voici par exemple une rangée de cinq pièces : PFFFP. À chaque coup, on doit retirer une pièce F et retourner les pièces voisines (s'il y en a). On cherche naturellement à retirer toutes les pièces de la rangée. Peut-on caractériser les rangées gagnantes (c'est-à-dire celles que l'on peut complètement vider) ?
Les Lycées Marcelin Berthelot et Christophe Colomb font de la résistance
Utilisation de symétries pour calculer les résistances de micro/macro schémas électriques
Dans le monde tropical, l'addition et la multiplication ne sont pas définies comme ici. On définit : a + b = min {a, b} et a x b = a + b. Quelles sont les différentes propriétés de cette addition et de cette multiplication ? On étudiera les droites tropicales
Il s’agit de trier une liste donnée de nombres choisis au hasard. Il faut trouver des méthodes efficaces pour trier beaucoup de nombres, impossibles à voir en même temps, et en les comparant seulement deux par deux.
A partir de pliages et d’assemblages de petits carrés de papier, il est possible d’obtenir essentiellement des pentagones et des hexagones réguliers.
Quels solides convexes sans aucun trou est - il possible de construire avec ces pentagones et hexagones réguliers (buckyball) ? Combien de polygones de chaque sorte dans leur construction ?
Comment est-il possible de courber un tube ?
Comment alors obtenir un polyèdre ayant un seul trou (anneau) ?
Ce jeu se joue à 2 joueurs. Il consiste à construire, chacun son tour, un serpent dans un quadrillage choisi. Le 1er joueur commence le serpent dans la case de son choix et avance d'une case. Ensuite, le 2nd joueur avance aussi d'une case. Et ainsi de suite Il est interdit de sortir du quadrillage. Le gagnant est celui qui retouche le serpent.
Ce jeu se joue à 2 joueurs ou 2 équipes. Il consiste à construire un serpent dans un quadrillage. Le 1er joueur commence à la case de sonchoix et avance d'une case. On y joue à tour de rôle. Pour gagner, il faut obliger l'adversaire à retoucher le serpent.
On a un certains nombres d'explorateurs et d'indigènes qu'on doit faire passer de l'autre côté d'une rivière à l'aide d'une barque avec un certain nombre de places. Si les indigènes sont plus nombreux alors les explorateurs se font manger. Le but est de faire passer tout le monde de l'autre côté dans les règles.
Le sujet constitue à faire un pavage avec plusieurs mêmes carrelages (un carré avec à l'intérieur deux quarts de cercle dans deux sommets opposés).
Des villes sont reliées entre elles par un certain nombre de routes. Trois graphiques sont proposés et on se demande si le voyageur peut dans tous les cas traverser toutes les villes en empruntant chaque route une fois et une seule. Une question se pose alors : pourquoi est-ce ou n'est-ce pas possible ?
On dispose d'engrenages entre 15 et 30 dents et on souhaite réaliser un montage (avec le minimum d'engrenages) de rapport 6,55957. Comment doit-on faire ?
On considère un polygone P sur lequel on cherche à construire le plus court chemin passant par tous les sommets.
On dispose sur une grille de 8×8 (ou plus petite au départ) des nombres entiers de flocons (de 0 à 9). Vous obtenez une représentation d'un état du modèle à un moment donné. Le modèle évolue de la manière suivante : si une cellule contient 4 flocons au moins (elle est dite instable) alors cette cellule s'éboule et perd 4 flocons en en donnant 1 à chacun de ses voisins. Si cette cellule est sur le bord de la grille alors les flocons qui sortent de la grille sont perdus.
Dans la ville de Königsberg il y a un fleuve contenant deux îles et sept ponts. Le jeu des ponts consiste à essayer de faire une ballade qui traverse chaque pont une fois et une fois seulement et qui termine à son point de départ. Pouvez vous trouver une telle ballade ? Et une ballade qui traverse chaque pont une fois seulement et qui ne termine pas à son point de départ ? Et avec plus de ponts ?
Deux joueurs jouent au jeu des allumettes. Des petits tas d'allumettes sont données : à chaque tour, le joueur dont c'est le tour enlève un certain nombre d'allumettes d'un des tas. Le gagnant est celui qui enlève la dernière allumette. Pour quelles tailles de tas initiales est ce que le premier joueur est sur de gagner s'il ne fait pas de faute ? Comment doit-il jouer ?
Deux joueurs jouent au jeu des allumettes. Des petits tas d'allumettes
sont donnés : à son tour, chaque joueur enlève un certain nombre d'allumettes d'un unique tas.
Le gagnant est celui qui enlève la dernière allumette.
Dans quels cas est-ce que le premier joueur est sûr de gagner en connaissant la stratégie
gagnante s'il ne fait pas d'erreurs, si le jeu contient 2 tas ? 3 tas ? Et plus ?
Quelle(s) forme(s) peut prendre un film de savon lorsqu'on plonge une structure cubique dans une solution savonneuse
Lorsqu'un grand nombre de billes est lancé sur une planche de Galton la répartition des billes forme une « gaussienne ». Nous nous sommes intéressés au problème inverse : à partir de la forme d'une courbe, nous avons cherché à déterminer les caractéristiques de la planche (ou encore pour les petits tricheurs comment positionner les clous sur une planche pour décider de la zone d'arrivée d'une bille). Dans un premier temps nous avons pratiqué une rapide étude avec une planche de Galton traditionnelle, puis nous avons considéré une planche légèrement modifiée.
Nous avons cherché à déterminer le nombre minimal de caméras à disposer
dans une salle de musée. Nous nous sommes intéressé à plusieurs salles rondes comportant des
piliers de formes simples telles que ronde, triangulaire, carrée...
Nous nous sommes aperçu notamment pour un pilier rond que deux caméras ne
suffisaient pas nécessairement.
Si l'on considère une ficelle emmêlée, on souhaiterait savoir s'il y a un nœud ou non après avoir tiré les deux extrémités. D'abord on définit le cas d'une ficelle «valable» avant de définir les moyens pour simplifier une ficelle au maximum afin de savoir s'il y a un nœud ou non.
Lorsque des rayons lumineux arrivent au raz d'une tasse à café, une courbe lumineuse, appelée cardioïde, se forme sur le liquide contenu. Peut-on alors raisonner dans le sens inverse ? D'après une courbe lumineuse quelconque peut on déterminer le récipient correspondant ?
On se propose de résoudre l'équation : xn + yn = zn avec, x, y et z entiers naturels non nuls et n = 2.
Décomposer 2010 sous forme d'une somme de nombres de telle sorte que le produit obtenu avec les nombres trouvés soit le plus grand possible.
On dispose de carreaux carrés bicolores tous identiques.
On souhaite paver une pièce carrée de 6 carreaux sur 6 carreaux en respectant le principe suivant : deux carreaux ne peuvent s’accoler que par deux côtés d’une même couleur.
De combien de façons différentes peut-on paver cette pièce ?
Ce sujet est inspiré du jeu « Sim City » :
on se met à la place d'un cabinet d'urbanistes chargé de dessiner le
plan d'une ville nouvelle. On part d'un cadre fixé : un terrain divisé en lots à bâtir,
avec un espace central réservé pour les équipements collectifs.
Les urbanistes doivent tracer des rues pour desservir tous les lots à partir du centre.
a) Le constructeur souhaite que la longueur totale des rues à construire soit
la plus petite possible ;
b) Les habitants souhaitent que les trajets à faire pour rejoindre le centre soient
les plus courts possibles ;
c) Le facteur souhaite distribuer le courrier dans toutes les maisons en parcourant
le chemin le plus court possible.
On cherche les solutions pour chacune de ces conditions
et comment concilier les trois.
C'est un jeu inspiré du black Jack, très simplifié. Vous jouez contre la « banque »
et on tire des dés au lieu de cartes. Au début d'une partie, on lance deux dés pour vous
et un dé pour la banque, et vous voyez les résultats.
Alors vous pouvez demander un autre lancer de dé, puis un autre, ceci autant de fois que vous
voulez tant que votre total ne dépasse pas 12. Vous pouvez aussi décider de vous arrêter à tout moment.
Ensuite la banque lance des dés pour elle-même, mais avec une règle forcée : jusqu'à un total
de 10, elle relance le dé et dès qu'elle a au moins 11 elle est obligée de s'arrêter.
Vous avez gagné si votre total est supérieur à celui de la banque à condition qu'il ne dépasse pas 12,
ou si la banque a dépassé 12 mais pas vous. La banque gagne dans le cas opposé.
En cas d'égalité la partie est remise.
On cherche la meilleure stratégie à ce jeu.
L'épidémiologie est l'étude des facteurs influant sur la santé et les maladies des populations humaines. Il s'agit d'une science qui se rapporte à la répartition, à la fréquence et à la gravité des états pathologiques. Ce que le chercheur propose :
Ce problème consiste à savoir si l'on peut ou non remplir une figure pavée avec une pièce déterminée.
On définit deux nouvelles opérations : a⊕b=min{a;b} et a⊗b=a+b.
Par exemple : 3⊕7=3, 3⊗7=10.
Quelles sont les propriétés de cette nouvelle addition et de cette nouvelle multiplication ?
Est-ce qu'on peut « tout » faire comme avec l'addition et la multiplication que l'on connaît ?
Peut-on définir la soustraction et la division ?
Voir aussi l'article du groupe jumelé de Gap
On souhaite réaliser un surplomb avec des pièces rectangulaires et de même taille (sans colle). Comment doit-on faire (si c'est possible ?
Un peu de mathématiques pratique : combien de billes peut-on mettre dans un roulement (à billes) en fonction de divers éléments du mécanisme ?
Réfléchir sur la combinatoire à partir de problèmes simples.
On définit deux nouvelles opérations : a⊕b=min{a;b} et a⊗b=a+b.
Par exemple : 3⊕7=3, 3⊗7=10.
Quelles sont les propriétés de cette nouvelle addition et de cette nouvelle multiplication ?
Est-ce qu'on peut « tout » faire comme avec l'addition et la multiplication que l'on connaît ?
Peut-on définir la soustraction et la division ?
Observer des tas de sable et utiliser des mathématiques pour réfuter ou confirmer les observations. Tas à base en forme de L, tas à base en forme de D (disque coupé). Approche des coniques avec les connaissances du collège.
N'aimeriez vous pas pouvoir prédire la trajectoire d'une balle qui rebondit sur un sol ? Savoir où elle se trouve à un moment donné et où elle va s'arrêter ? A l'aide d'outils mathématiques, vous saurez tout sur un sujet plein de rebondissements.
Le mirage et ses mystères fascinent. Voir un lac en plein désert reste surprenant. On observera ce phénomène, à l'aide de l'eau.
Jeu de Ping est un jeu sur une grille : suivant la taille de la grille, existence ou non de solutions.
Peut-on choisir 3 nombres entiers tels que, pris séparément ou additionnés les uns aux autres, on ne tombe pas sur 3 ou un de ses multiples ?
La pratique du boulier chinois. La lecture et les différentes écritures
des nombres sur le boulier chinois.
Comment effectuer les quatre opérations sur le boulier chinois ?
On dispose d'un ensemble de boules identiques en apparence, mais dont une
est plus lourde que les autres.
Pour la retrouver, on dispose également d'une balance de Roberval à deux plateaux pour
effectuer des pesées.
On cherche à retrouver la boule en un minimum de pesées, sans tenir compte du facteur chance.
Cette “courbe”, obtenue en pliant puis dépliant indéfiniment une feuille de papier, a été l'objet de notre étude ; en particulier elle a plein de virages dont la répartition obéit à des règles étonnantes, et elle permet de paver le plan...
Une ville du bord de mer a des rues à angle droit orientées Nord-Sud ou Est-Ouest ; la plage est au SE. Pour aller à la plage, Marcel prend une pièce et à chaque carrefour, il tire à pile ou face. Pile il va au sud, face il va à l'est...
La table de Dudeney est une table composée de 4 pièces. Selon la disposition de ces pièces la table sera de forme triangulaire ou carrée. Notre problème a été de trouver l'emplacement des 4 pieds de la table (1 par pièce) de manière à ce qu'elle soit la plus stable possible.
Voir aussi l'article en italien dans “Xlatangente”
On effectue un changement de repère selon Lorentz, et on étudie les phénomènes physiques qui vont se produire.
Quelle est la meilleure manière de chercher une personne prise dans une avalanche ? On suppose que l'avalanche est un rectangle et que nous disposons d'un système de recherche sonore (émission pour la victime- réception pour le chercheur) qui permet de localiser la victime selon une seule direction. Quelle direction choisir ?
Voir aussi l'article dans “Quadrature”
Le but de nos recherches est de trouver des alignements possibles de dominos, et de trouver des suites logiques. Nous avons déterminé le nombre de dominos puis nous avons raisonné par essais successifs, Enfin, nous avons traduit ces enchaînements de dominos par des graphes. Nous avons donc étudié la théorie des graphes, et démontré le théorème d'Euler.
Le codage de Huffman est un algorithme qui permet de réduire la taille d'un fichier informatique en faisant en sorte que les caractères les plus fréquents “pèsent” davantage que les caractères moins fréquents. Nous avons étudié cet algorithme ainsi qu'une variante qui utilise une permutation des caractères.
Nous avons étudié différents pavages du plan à l'aide de polygones. Nous avons commencé par la cas des triangles puis celui des quadrilatères (concaves, convexes, croisés). Nous avons aussi déterminé des pavages de pentagones et de polygones et démontré pourquoi il n'est possible de paver le plan avec des polygones réguliers que s'il s'agit de triangles, de carrés ou d'hexagones.
Un électricien inexpérimenté se charge de l'installation électrique d'une maison
et commet des erreurs qui entraînent un allumage hétéroclite des pièces : lorsque l'on allume
la lumière dans une pièce, on change l'état de l'éclairage dans toutes les pièces voisines à
celle-ci (d'éteint a allumé et d'allumé à éteint). Les pièces en diagonale ne sont pas considérée
comme adjacentes et ne sont donc pas concernées par le problème cité ci-dessus.
Un problème se pose alors : Comment allumer toutes les pièces de la maison sachant que les
pièces sont au départ toutes éteintes et que l'on essaye de les allumer en une seule combinaison.
Des pions bicolores sont disposés sur un damier, face blanche. Quand on retourne un pion, on retourne aussi ses voisins, peut-on rendre le damier tout noir ? On étudie tous les cas... Damiers de dimensions 2_3, 2_4 etc... et on cherche à établir une stratégie.
On se donne un entier n. Une chaîne d'additions est une suite d'entiers dont le premier terme est 1, le dernier terme est n et chaque terme est la somme de deux termes obtenus précédemment. Quelques questions : pour un entier n, quelle est la longueur d'une chaîne la plus courte ? la meilleure chaîne ? Est-ce toujours possible ? Et si on s'autorise également des soustractions ?
Si on examine le développement décimal de 1/n pour un entier naturel non nul donné n, deux cas se présentent : soit le développement est fini (par exemple 1/2 = 0,5), soit il est constitué de chiffres qui se répètent à partir d'un certain moment : un cycle (par exemple 1/11 = 0,090909...). On s'intéresse au nombre de chiffres de ce cycle.
Nous étudions les nombres entiers en additionnant leurs chiffres, puis les carrés de leurs chiffres, puis les cubes de leurs chiffres et nous entrons dans la ronde !! Venez danser avec nous !
Diophante veut offrir à Hypatie deux colliers de perles qui contiennent respectivement p et q perles numérotées de 1 à p et de 1 à q. L'agencement des perles est pour le moins original : avec le premier collier maintenu ouvert et avec le second maintenu fermé, la somme de deux numéros adjacents est toujours un carré parfait. Diophante qui est pingre a demandé au joaillier de trouver p et q les plus petits possibles. Trouver les valeurs de p et de q et décrire la composition des deux colliers.
Dans la langue des Shadocks, il y a trois syllabes. Un mot y est interdit si et seulement s'il existe trois groupes de syllabes X, Y, Z tels que le mot s'écrive XYYZ. Autrement dit, on ne doit pas trouver dans un mot shadock une répétition consécutive de groupes de syllabes. Y existe-t-il des mots contenant 100, 1000, 100000 syllabes ? Combien y a-t-il de mots de moins de 100 syllabes ?
On modélise un réseau d'ordinateurs qui communiquent entre eux par un graphe chacun de ses
nœuds ou sommets représente un ordinateur ; certaines paires de sommets sont reliées par une arête orientée
qui représente un canal de communication, permettant de transférer l'information dans un seul sens; enfin,
un noeud, noté D (pour destination ou directeur) joue un rôle particulier.
On s'intéressera particulièrement aux graphes/réseaux qui satisfont à certaines conditions.
Peut-on multiplier 2007 par un nombre entier pour obtenir un résultat ne s’écrivant qu’avec des uns ?
On a un jeu de 16 cartes distinctes rangées dans un ordre connu.
On coupe le jeu en deux tas contenant le même nombre de cartes, puis on alterne une carte d’un tas, puis une carte de l’autre, puis une carte du premier tas et ainsi de suite … Chaque fois que les cartes sont mélangées suivant ce mélange, on parlera de « coup ». On mélange les 16 cartes suivant le mélange proposé, une fois, puis une deuxième fois…. Et à chaque fois on observe l’ordre des cartes.
Au bout de 4 coups, il semble qu’on revienne à réordonner les cartes, est-ce que ça marche avec n’importe quel paquet de cartes ?
Peut-on prévoir le nombre de coups pour revenir à l’ordre initial avec un paquet de 4, 6, 10, 72, n cartes ?
Et si on change de mélange, est-on sûr de revenir à l’ordre initial ?
On part d'un nombre entier naturel. On calcule la somme des carrés de ses chiffres. On obtient un nouvel entier naturel, sur lequel on recommence la même opération, et ce ainsi de suite. L'objectif est 'entier de départ.
On dispose de 3 pots, contenant chacun un certain nombre de billes.
On déplace les billes, en choisissant deux pots parmi les 3, dans lesquels on prélève une bille pour chacun,
et on replace ces 2 billes dans le 3ème pot.
L'objectif est de savoir si on peut regrouper toutes les billes dans le même pot, et si oui,
comment, dans quel pot, et en combien de mouvements.
Observation des techniques utilisées en perspective avec points de fuites : conséquence sur les rapp orts de longueurs et le parallélisme. Application au dessin d'un échiquier tombant d'une table, rangée d'arbres équidistants au bord de la route
Décryptage de messages avec des techniques différentes : le “chiffre de César”, le remplacement de chaque lettre du texte chiffré par une autre (fixe) et le codage avec le chiffre de Vigenère. Utilisation d'une étude fréquentielle.
Les Ponts de Konigsberg et étude des polyèdres (nombre de sommets, de faces et d'arêtes).
Découpage d'un rectangle en carrés.
Un rectangle R0 a des côtés de longueur u0 et u1,
avec u0 = 1 et 0 < u1 < 1. On découpe le rectangle R0 en autant
de carrés de côtés de longueur u1 que possible (disons p1 carrés), il reste un rectangle
R1 de côtés u1 et u2 , avec u2 < u1.
On recommence l'opération...
Par quelles lois est régi un tel découpage ?
Soit D un disque du plan et r<0. Un premier joueur joue un point M1 de D
et le deuxième un demi-plan S1 contenant M1 puis le premier joueur joue un point
M2 dans S1 et D puis le deuxième joue un demi-plan S2
contenant M2.
Le deuxième joueur gagne si à partir d'un certain rang tous les points placés par le premier sont contenus
dans un disque de rayon r. Il s'agit de trouver une tactique permettant au deuxième joueur de gagner quelle
que soit la manière de jouer du premier ?
Dans le plan, on se donne un cercle C et un point S situé à l'extérieur de C. En considérant S comme une source de lumière, les rayons lumineux issus de S vont alors se réfléchir sur C... Déterminer la courbe formée par l'enveloppe des rayons réfléchis...
De combien de manières différentes peut-on peindre les faces d'un cube avec 3 couleurs ?
On prend deux cercles C de rayon R et C' de rayon R',
tous deux de même centre et avec R > R'.
On part d'un point A de C, on trace l'une des tangentes à C' passant par A,
elle coupe à nouveau C en B, on répète l'opération à partir de B et ainsi de suite.
On obtient une suite de segments, vont-ils repasser par A ?
Quelle forme donner à une fortification (chemin fermé) pour que la totalité de son escarpe soit défendue par un minimum de mousquetaires ?
On place un cube (en fil de fer) sur un plan, on l'éclaire avec un projecteur (assez proche du cube), comment sera l'ombre du cube ?
«Savez-vous pourquoi les plaques d'égouts sont rondes ? Parce qu'elles ne tombent pas dans leur trou. Mais pour quelle raison ? Existe-il d'autres figures qui ont cette propriété ? Quelles sont leurs caractéristiques générales ?»
«Si les trois vues (de face, de dessus et de côté) d'un solide sont des carrés, c'est forcément un cube. Et si les trois faces sont des cercles, le solide est-il forcément une sphère ?»
«On trace sur une feuille un polygone complexe, par exemple un cygne. Comment découper en un seul coup de ciseau rectiligne la figure tracée ?»
Exemple de nombre infini .....123123123123.
On définit sur l'ensemble des infinis une addition : par exemple : …999999+1=…0000.
Le plus grand des nombres infinis auquel on ajoute 1 donne 0 ! Et aussi une multiplication. par exemple :
…66667×3=…00001.
Questions à étudier : quels nombres finis ou infinis ont un inverse dans cet ensemble ?
À quelle condition un nombre est-il divisible par un autre ?
On déplace un polyèdre régulier sur un plan en le faisant pivoter autour de ses arêtes. Où peut-il arriver ? Dans quelle(s) position(s) et dans quelle(s) orientation(s) ? Et si on interdit que certaines faces soit au contact du plan ?
Présentation d'un arbre de FRACTIONS (nombres rationnels) irréductibles, qui ira… jusqu'aux étoiles!
Comme on sait le faire dans un plan, nous proposons une réflexion sur les pavages réguliers possibles en 3D, sur une sphère ! Diverses manières de paver la sphère à l'aide de pavés réguliers à 2 côtés, à 3 côtés…, les côtés étant des arcs de grands-cercles.
Qu'est-ce qu'une Pac-planète ?
Comment choisir sa direction pour faire le tour du monde ?
Quel est le PPTM (Plus Petit Tour du Monde) si la planète est carrée, rectangulaire,
losange,parallélogramme ? (mais toujours d'une aire égale à 1)
On va essayer de trouver un majorant pour tous les PPTM !!!!!
On a 1=1/2+1/3+1/6. En ajoutant des fractions différentes de la forme 1/n (celles que les égyptiens utilisaient dans l'Antiquité), peut-on parvenir à écrire un nombre entier quelconque ? Faudra-t-il beaucoup de fractions ? De gros dénominateurs ?
La décision récente de suspendre pendant 6 mois la pêche de l'anchois pour préserver les stocks a fait beaucoup de bruit. Un tel arrêt temporaire est-il efficace ? À long terme, quel quota de pêche sera viable ?
Avec un minimum de miroirs, comment faire contourner un obstacle à un rayon de lumière ? Jusqu'où peut-on raccourcir le trajet parcouru ?
Comment décomposer tout entier en fraction égyptienne ?
Voir aussi le numéro hors série de Gap Sciences Animation 05 de mai 2006 avec l'ensemble des articles.
Pour tresser 3 fils, on en croise 2 d'entre eux (ce qui fait 4 manières possibles), et… on recommence !
Un automate cellulaire est une suite de lignes de 0 et 1, avec des règles qui déterminent la case T de la ligne n+1 en fonction de certains voisins de cette case à la ligne n.
Quelle attraction possible entre une planète ronde et une planète cylindrique ?
Sur une carte de la Terre, quelle courbe sépare le jour et la nuit ?
Une suite de cercles C1, C2, …, tangents à une même droite est définie de proche en proche : chaque cercle est tangent à la droite et aux deux cercles précédents. Comment évoluent les centres et les rayons de ces cercles successifs ?
En retirant de la surface d'un triangle la surface du “triangle des milieux”, on obtient trois triangles plus petits, sur lesquels on peut renouveler la même opération, … et ainsi de suite, indéfiniment. Du triangle originel subsistera une poussière de points, une fractale.
Prenez une feuille. D'abord, pliez en 2, pliez encore, et encore, et encore… Puis dépliez, en mettant les plis a angles droits… Un dessin apparaît alors, d'autant plus précis et sinueux que nombre de plis est grand.
Une victime est enfouie dans une aire rectangulaire. Quelle direction prendre au départ pour avoir les meilleures chances de la retrouver rapidement, vu que l'appareil de détection ne nous permet qu'une suite de déplacements à angles droits ?
Peut-on paver un carré avec des carrés tous différents ?
Trois usines envoient des canalisations à trois maisons. Peut-on éviter de les croiser ?
En n'utilisant qu'une règle (non graduée) et un compas, quelles figures peut-on construire ?
En s'inspirant des illustres exemples de l'Antiquité (Erathostène, Aristarque de Samos, Hipparque, Ptolémée), pourrions-nous, avec les outils géométriques courant, évaluer le rayon terrestre afin de donner ensuite une approximation assez précise pour la distance Terre-Lune ?
Une commode face à un mur, c'est pas commode ! Comment la remettre à la même place dos au mur, en la faisant culbuter (mais sans la faire glisser) un certain nombre de fois ?
Aprés plusieurs mélanges d'un jeu de cartes suivant la même recette, les cartes peuvent-elles se retrouver dans l'ordre de départ ? Au bout de combien de battages cela se produit-il ?
Soit f une fonction croissante sur [0,1] vérifiant f(0)=0, f(x/3)=f(x)/2 et f(1-x)=1-f(x). Calculer f(253/3280).
Étant donnés 3 villages, quel est le système de routes le moins long reliant ces villages.
Quels diviseurs admettent les nombres de la forme 111. . . 11 (n fois le chiffre 1) ?
Où un carré de coté 8 × 8 se laisse découper en pièces qui, une fois assemblées autrement, forment un rectangle 5×13, enfin… presque !
Des crêpes de tailles différentes sont empilées dans le désordre. Grâce à une palette que l'on glisse entre deux crêpes on peut inverser l'ordre des crêpes au-dessus de la palette. Comment, avec le moins d'opérations possibles, réordonner toute la pile ?
Une suite infinie de nombres se découpe naturellement en blocs de nombres consécutifs identiques. Les longueurs de ces blocs forment alors une nouvelle suite de nombres, appelée "lecture" de la précédente. Avec les nombres 1 et 2, Kolakoski a formé une suite extraordinaire 12211212212211… qui coïncide avec sa propre lecture ! A-t-elle autant de 1 que de 2 ?
Comment l'algèbre linéaire sur les corps finis permet-elle d'effectuer un codage et de détecter les erreurs de manière efficace en pratique ?
Après avoir bien bu, Monsieur Pierre, ivre, veut quitter le bistro pour rentrer chez lui. Quelle probabilité a-t-il d'arriver à son but sachant qu'il évolue au hasard dans un réseau de rues perpendiculaires ?
Comment disposer des dominos identiques sur une longueur de un mètre pour qu'ils tombent le plus vite possible ?
Toto invente des façons inhabituelles de faire des opérations… Pour la multiplication, par exemple, il écrit à gauche la moitié du premier nombre (en laissant tomber les décimales) et à droite le double de l'autre nombre ; puis avec les résultats obtenus, il recommence et encore, et encore.. Jusqu'à obtenir 1 à gauche. Il additionne alors certains des nombres de droite… et ça marche !
Un lièvre court à foulées régulières, toujours à la même vitesse et dans une direction constante. Un chien, au départ à gauche du lièvre, court à la même vitesse que lui. Arrivera-t-il à le rattraper s'il vise toujours le lièvre ? S'il adopte une autre stratégie ?
Quelle chance a une fille de pouvoir se marier au pays de Randomie ? Il faut pour cela que 6 brins de ficelles dont les premières extrémités sont noués deux par deux au hasard, et dont les secondes extrémités sont également nouées au hasard selon le même principe forment une seule boucle fermée !
Dans un rectangulaire défini, on cherche un point M situé le plus loin possible des autres points placés au hasard dans le rectangle.
Calcul de la force de l'eau s'exerçant sur un barrage.
Comment les construire, en utilisant pour seuls instruments un compas et une règle non graduée ?
Comment mesurer les angles d'un triangle sur une sphère ?
Peut-on prévoir le résultat des soustractions du type ABCD − DCBA,
où ABCD est un nombre à 4 chiffres ?
La suite des résultats boucle-t-elle ?
Comment placer des dominos, sur une longueur de 1 m, pour avoir une chute en cascade la plus rapide possible ?
Deux araignées fâchées dans un garage veulent se placer le plus loin l'une de l'autre. Quelles positions doivent_elles choisir, en fonction des dimensions du garage ?
Soit p un nombre premier (= divisible uniquement par lui-même et par 1). Comment décider si un entier est le reste de la division par p d'un carré parfait ?
Construire une machine à billes qui additionne deux nombres (en binaire de deux chiffres : réalisation d'un "additionneur" de 1m sur 1m, Numération binaire, problèmes de retenues…
Une voûte est une succession de pierres associées pour former une arche. Comment ces pierres tiennent-elles ?
Si on se donne 4 entiers naturels a, b, c et d qu'on dispose sur une ligne,
on construit une nouvelle ligne qu'on écrit en dessous avec les entiers |a − b|, |b − c|,
|c − d| et |d − a|. Ensuite on construit de même une 3ème ligne…
En prenant a = 5, b = 11,
c = 0 et d = 2 on obtient ainsi successivement : 5 11 0 2 ; 6 11 2 3 ; 5 9 1 3 ;
4 8 2 2 ; 4 6 0 2 ; 2 6 2 2 ; 4 4 0 0 ; 0 4 0 4 ; 4 4 4 4 ; 0 0 0 0,
et donc toutes les lignes suivantes sont constituées de quatre zéros. Est-ce un coup de chance ou bien doit-on
toujours arriver à une ligne constituée de quatre zéros ?
Que se passe-t-il si partant d'un entier naturel, on fait la somme des carrés de ses chiffres puis qu'on recommence avec la somme obtenue, puis qu'on recommence encore avec la somme obtenue etc.. ? (Par exemple si on part de 2583 on obtient d'abord 2 × 2 + 5x5 + 8 × 8 + 3 × 3 = 102, puis 1 × 1 + 0 × 0 + 2 × 2 = 5, puis 5 × 5 = 25, puis 2 × 2 + 5 × 5 = 29, puis 2 × 2 + 9 × 9 = 85…)
Au rugby, il y a deux manières de jouer une touche : la première consiste à aligner les deux équipes face au lanceur. Celui qui saute le plus haut prend la balle. Depuis peu un joueur peut jouer la touche rapidement sans attendre que les équipes se mettent en place ; à condition de l'envoyer à un joueur se trouvant à plus de 5 mètres du bord du terrain. Si aucun joueur n'est assez près de lui, il peut se l'envoyer à lui-même à condition de courir les 5 mètres pour la rattraper. Comment le joueur doit il lancer la balle pour perdre le moins de temps possible ?
L'échiquier à trois dimensions est un cube partagé en n × n × n cases,
chacun des côtés étant divisé en n intervalles égaux.
Une “tour” contrôle les trois
lignes de cases parallèles aux côtés passant par la case où elle se trouve. Combien au maximum peut-on placer de
tours de façon qu'aucune d'elles n'en menace une autre ? Combien au minimum faut-il en placer de façon
qu'ensemble elles contrôlent toutes les cases de l'échiquier ?
L'ombre d'un cube peut-elle être un triangle ? un quadrilatère ? un quadrilatère quelconque ? un pentagone ? un hexagone régulier ? un hexagone quelconque ?
Le carré de l'aire d'un triangle peut s'exprimer en fonction du carré des longueurs de ses côtés. Qu'en est il pour le tétraèdre ?
Dans le cadre du projet “Starshine”, on a été amené à répartir sur un satellite sphérique une certain nombre de miroirs afin de pouvoir observer ce satellite du sol quelle que soit sa position. Comment répartir "le mieux possible" n points sur une sphère, c'est à dire faire en sorte que la plus petite distance entre deux points soit la plus grande possible.
Dans un tableau de 4 colonnes, on remplit la première ligne avec 4 nombres quelconques et ensuite, chaque ligne est remplie en calculant les “différences positives” (= la différence prise sans son signe) des nombres consécutifs de la précédente (pour la dernière valeur de chaque ligne on prend la différence positive entre les derniers et premiers nombres de la ligne précédente). Curieusement les exemples montrent qu'on abouti ainsi à des lignes de “0”. Est-ce un hasard ? Que se passe-t-il si on choisit un tableau de 2, 3, 5, 6, … colonnes ?
Dans quelle(s) direction(s) peut-on envoyer une boule de billard pour qu'elle repasse par son point de départ après 9 bandes ? après n bandes ?
“Pour gagner un match de tennis, il ne suffit pas d'être le meilleur, il faut savoir gagner les points importants !” Voilà une phrase que l'on entend souvent dans la bouche des commentateurs de Roland-Garros. si un joueur a x% de chances de gagner un point sans importance, et y% de remporter un point important, quelles chances a-t-il de remporter le match ? Votre but : illustrer ce propos ! En coupe Davis, vaut-il mieux avoir une équipe avec un joueur très fort et un joueur très faible, ou une équipe avec deux joueurs moyens ?
Nous avons des pions noirs d'un coté et blancs de l'autre. On part avec un alignement de n pions noirs qu'il faut arriver à retourner avec la règle suivante : quand on pointe un pion, on retourne ses voisins.
Décomposition d'un signal simple sous forme de somme de sinusoïdes
Équilibre d'un système composé de plusieurs pierres
Dans une société, les bureaux, aux positions fixes, de trois employés doivent être reliés à celui de leur supérieur par un réseau informatique. Le patron souhaite que cela soit le plus économique possible et cherche donc l'endroit où placer son bureau et permettant d'utiliser le moins de câble.
Le problème posé revient en fait à trouver le ou les chemins les plus courts reliant deux points situés sur la surface d'un solide. De tels chemins, si ils existent, sont appelés géodésiques du solide
Un fermier possédant des champs régulièrement plantés d'arbres (ils forment ainsi un quadrillage régulier soit un réseau de points), veut délimiter une partie de ce champs par des barrières ayant sept de ces arbres pour extrémités. Il désire enfin obtenir soit la parcelle de plus grande surface possible soit de plus petite surface possible. Enfin, il décide de ne pas croiser ses barrières.
Comment colorier un plan (une feuille de dimension infinie) en respectant la condition suivante : si deux points sont distants de 1 unité, ils doivent être de couleurs différentes. Quel est le nombre de couleurs minimum pour colorier tout le plan en remplissant cette unique condition ?
Certains produits remarquables ne s'écrivent qu'avec des “1”. Par exemple : 37 × 3 = 111 ou encore 12 345 679 × 9 = 111 111 111. Peut-on en trouver d'autres ? Quelles règles peut_on trouver concernant ces produits ?
Étudier la forme que pourrait avoir une came dont le but serait d'imprimer un mouvement de translation à un axe qui lui-même servirait à aiguiser des dents de scie.
Étude des plus courts chemins entre 2 points d'un cube. Leur unicité ?
Pourquoi ne peut-on pas faire une carte juste de la Terre ? Peut-on faire une carte qui comporterait le moins d'erreurs possibles ?
On dispose d'un paquet de cartes. Le nombre de cartes de ce paquet est pair. On effectue avec ce paquet de cartes plusieurs mélanges out faro : on coupe le tas de cartes en deux parties égales.
En premier, on pose la carte de dessous du tas de dessous, puis la carte de dessous du tas de dessus. On continue ensuite, de manière identique, en alternant les cartes de dessous du tas de dessous et les cartes de dessous du tas de dessus.
Quel que soit le nombre pair de cartes et quel que soit le mélange, retombe-t-on à chaque fois sur la disposition initiale des cartes ? Si oui, en combien de mélanges ?